Модель числа I. Нахождение инволюции
Ранее в статьях. о симметриях списочной многострочной модели (СММ) рассматривались окаймления строки нетривиальных инволюций (НIn) парами строк, содержащих квадратичные вычеты – полные квадраты (КВК). В таблице А0 показаны названные зависимости.
При изложении текста решается задача определения нетривиальных инволюций (НIn) в конечном числовом кольце вычетов (КЧКВ) по составному (полупростому) модулю и формировании полного списка модели. Для получения решения используется модель составного числа (СММ) и Закон распределения делителей (ЗРД здесь). Любая пара строк СММ, окаймляющая строку нетривиальных инволюций, имеет номера, полусумма которых равна номеру строки НIn, совпадающему с меньшим значением инволюции.
Доказательство этого факта в следующем. На числовой оси (хо) отметим номера окаймляющих строк в слое k. Эти строки симметрично расположены по отношению к строке НIn, т.е. они одинаково удалены от НIn. Оба номера окаймляющих строк либо четны, либо нечетны, так как их полусумма – целое число (номер строки). Средняя точка замкнутого интервала между номерами пары окаймляющих строк определяется по формуле хоц = ½ (хон + хов). Найденное значение – номер строки нетривиальных инволюций.
Индексы у номеров строк СМ-модели обозначают: ц – центральный, н – нижний, в – верхний. Невыясненным остается вопрос, где и как получить нужные строки и их номера? Оказывается, что среди пар строк окаймления некоторого k-го слоя встречаются такие, обе из которых содержат средние вычеты вида rccс. Именно такие пары строк обеспечивают успех поиска решения.
Первая сверху списка СММ строка с rccс, с номером хо (rccс) = k указывает на пару окаймляющих строк смежных с ней в тройке строк области ТССС. Эта строка является центральной строкой тройки, а крайние строки этой тройки окаймляют строку НIn в k-ом слое. Таким образом, состав тройки строк определен (rccсв, rccсц, rccсн) – это средние вычеты верхний, центральный и нижний. Номер центральной строки (хоц) тройки строк уже получен. Заметим, что в теории чисел задача определения ключевых элементов КЧКВ решается только тотальным перебором элементов.
Отсюда следует новизна подхода к решению задачи в рамках оригинальной (авторской) модели составного числа.