Нижегородские математики решили поставленную более полувека назад задачу
Как сообщает пресс-служба НИУ ВШЭ, математики вуза решили задачу Пола Чернова, поставленную 57 лет назад.
Так, в 1968 году американский математик Пол Чернов предложил теорему, с помощью которой можно было приближенно вычислить полугруппы операторов. Они представляют собой математические конструкции, описывающие, как с течением времени изменяются состояния многочастичных систем. Сам метод основан на последовательности приближений или шагов, с каждым из которых результат становится точнее.
Тем не менее, до сих пор не было понятно, насколько быстро эти шаги приводят к результату, и что именно влияет на скорость. Полностью задачу впервые смогли решить математики из нижегородского кампуса НИУ ВШЭ Олег Галкин и Иван Ремизов. Результаты опубликованы в престижном журнале Israel Journal of Mathematics (Q1).
Так, в многих задачах математики и теоретической физики необходимо точно вычислить сложные специфические значения. Например, как быстро остывает чашка кофе, распространяется тепло в двигателе или как ведет себя квантовая частица.
Исследования случайных процессов и других важных для современной науки направлений требуют вычисления такого математического объекта, как полугруппа операторов. В их основе лежит экспонента — математическая функция (возведенное в степень числом е с примерным значением в 2,718).
Однако в случае очень сложных систем, описываемых неограниченными операторами, стандартные методы вычисления экспоненты не действуют. Предложение Пола Чернова позволяло приближенно вычислять нужные значения экспоненты посредством построения все более точных математических конструкций.
Таким образом, метод гарантировал, что последовательные приближения в итоге приведут к правильному ответу. Но не было известно, с какой скоростью это произойдет. Именно эта неопределенность мешала применять его на практике.
Нижегородским же ученым удалось описать, как быстро приближенные значения приходят к точному результату в зависимости от выбранных параметров.
По словам старшего научного сотрудника Международной лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ Ивана Ремизова, эту ситуацию можно сравнить с кулинарным рецептом. Пол Чернов указал необходимые шаги, но не объяснил, как именно подобрать оптимальные ингредиенты — вспомогательные функции Чернова для лучшего результата. Соответственно и предсказать, с какой скоростью будет готово блюдо тоже нельзя
Галкин и Ремизов показали, что метод Чернова может работать намного быстрее, если правильно выбрать вспомогательные функции Чернова. Также математики доказали строгую теорему — если функция Чернова и приближаемая полугруппа имеют одинаковый многочлен Тейлора порядка k и при этом функция Чернова мало уклоняется от своего многочлена Тейлора, то разница между приближенным и точным значениями уменьшается как минимум пропорционально 1/n^k (n — номер шага, а k — любое натуральное число, отражающее качество выбранных функций).
По той же аналогии с рецептом, ученым удалось не только уточнить, какие ингредиенты работают лучше всего, но и впервые точно оценить, насколько быстрее приготовится блюдо, если использовать оптимальные продукты.
То есть на каждом шаге приготовления результат становится точнее, а погрешность уменьшается пропорционально формуле. Чем выше k, тем быстрее доходит до готовности нужный результат.
Отмечается, что полученный результат, хоть и носит теоретический характер, выходит за рамки чистой математики. Зачастую подобные исследования часто становятся основой разработки новых численных методов в квантовой механике, теплопередаче, теории управления и других науках.
Напомним, ранее нижегородские ученые завершили фундаментальные исследования по двум проектам в области химии, получившим поддержку НОЦ.
Задачи ориентированы на импортозамещение и создание современных отечественных производств стратегически важной химической продукции.
Сообщалось также, что в ПНИПУ разработали установку, повышающую эффективность оптоволоконной передачи энергии.
При этом система позволяет снизить рабочую температуру кристалла на 30-40°С и повысить эффективность его работы на 10%.
А аспирант аэрокосмического факультета Пермского Политеха Егор Разумовский объяснил, почему мозг воспринимает время хаотично.
Этот феномен он объяснил тем, что в основе восприятия времени лежит ритмика: возбуждение-торможение в больших полушариях головного мозга. При преобладании процессов возбуждения повышается обмен веществ, что приводит к ускорению или замедлению субъективного восприятия. Помимо этого, существует теория психолога Роберта Орнштейна, которая гласит, что чем больше информации воспринимает человек, тем более длительным ему кажется интервал.